| |
ליוסי שלום. כפי שאולי ידוע לך, החשבון הדיפרנציאלי פותח במקביל ע"י ניוטון באנגליה וע"י לייבניץ בגרמניה. הסימון dx הוא בעקבות לייבניץ, שסימן בו את מה שקרא "תוספת אינפיניטסימאלית", כלומר "תוספת קטנה עד אינסוף" למשתנה x. dy מסמן, בהקבלה, את התוספת למשתנה y המקבילה לתוספת dx למשתנה x, וה"מנה"dy/dx היא היחס ביניהן המבטא פי כמה y גדל יותר מהר מ x. זהו מה שאנחנו קוראים בשם "הנגזרת של y לפי x". מושג האינפיניטסימאל כגודל קטן (בערכו המוחלט) עד אינסוף אך שונה מאפס הוא חסר משמעות במתמטיקה הרגילה (אם כי יש גם מערכת לוגית שנקראת "אנליזה לא סטנדארטית" בה הוא בעל משמעות) ו dx או dy אינם ביטויים אלגבריים רגילים, כך שdy/dx אינו מנה אלגברית במובן הרגיל, אלא רק סימון לגבול שאליו שואפת מנת התוספות כאשר התוספת dx קטנה והולכת בערכה המוחלט (אם גבול כזה קיים). למרות אפשרויות הבלבול שבסימון הלייבניצי, יש לו גם יתרונות, בייחוד כאשר יש לנו מספר משתנים או פרמטרים ולא רק x וy . כאשר אנחנו מחליפים את dy/dxבסימון המקובל y’, למשל, לא ברור מייד מהסימון לפי מה גזרנו את y.
בחשבון האינטגראלי היתרונות בולטים עוד יותר, כיוון ששם, גם כאשר מטפלים בפונקציה עם משתנה יחיד x, למטרות האינטגראציה נוח לעתים קרובות לעבור למשתנה אחר (זה מה שנקרא "אינטגראציה ע"י הצבה"). מסיבה זו, ומסיבות נוספות, גם אם מטעמי נוחיות אנו משתמשים הרבה בסימן 'y לנגזרת, אנו דבקים בסימון הלייבניצי לאינטגראל, כמו בדוגמה שלך (3x+5)dx∫ עבור הפונקציה הקדומה לפונקציה y=3x+5. בסימון כזה ניתן להוכיח את נוסחת ה"צמצום" בזמן שינוי משתנים: dy=dy/dx dx (למרות שזה אינו צמצום במובן האלגברי הרגיל). בדוגמה שלנו זה נותן dy=3dx.
בברכה, דן עמיר
פרופ' דן עמיר
מדעים מדוייקים
אוניברסיטת תל אביב |
 |
