לגלעד שלום.

השם "מספרים טרנספיניטיים" ניתן ע"י גאורג קנטור בסוף המאה ה-19, שהגה את הרעיון שניתן, ויש טעם, גם להשוות את גודלן של קבוצות אינסופיות. נזכור שהמספר חמש, למשל, הוא הדבר המשותף לכל הקבוצות שניתן להתאים אותן לאצבעות יד אחת בהתאמה חד-חד-ערכית, והמספר עשר – המשותף לקבוצות שניתן להתאימן חד-חד-ערכית לאצבעות שתי הידיים. קנטור הציע שנמשיך כך גם לקבוצות אינסופיות. המספר הטרנספיניטי הראשון, הנקרא ₀א ("אלף אפס") הוא זה המתאים לסדרת המספרים הטבעיים. בין הקבוצות שמייצגות אותו, כלומר שניתן למנות את אבריהן: ראשון (מתאים ל-1), שני (מתאים ל-2) וכו' עד אינסוף, נמצאות – מלבד קבוצת המספרים הטבעיים עצמה, גם קבוצת המספרים השלמים או קבוצת המספרים הרציונאליים. קנטור הראה שמספר הנקודות על הישר הממשי גדול יותר, במובן שאף מנייה כזו לא תוכל למצות את כל הממשיים. כך קיבל מספר טרנספיניטי אחר, גדול יותר, שסימן אותו באות א ("אלף"). הוא הראה שלכל מספר טרנספיניטי כזה (היום מעדיפים להשתמש במונח: "עצמה אינסופית") קיים מספר טרנספיניטי גדול יותר. התורה שפיתח קנטור בהקשר זה נקראת "תורת הקבוצות" (set theory), והיא ממלאת תפקיד חשוב מאוד לא רק במתמטיקה המודרנית אלא גם בכמה משימושיה בפיסיקה. כדי ללמוד יותר לגבי שאר השאלות ששאלת, רצוי לקרוא באחד מספרי הלימוד בנושא.

בברכה, דן עמיר