שלום

אני סטודנטית להוראת המדעים ומלמדת תלמידים ברמת 3יח"ל ונתקלתי בקושי בהסבר לנוסחת ציון התקן ואשמח אם אקבל עזרה

השאלה

מה המשמעות של הנוסחה לקבלת ציון תקן? מאיפה היא מגיעה? איך היא בנויה?איך היא מתקשרת לשטח מתחת לעקומה ?ומדוע זקוקים לה

אפתח בדוגמה פשוטה (פיקטיבית, אך כמוה אפשר למצוא בסקרים סטטיסטיים אמיתיים): בסקר על גובהם של ילדי כיתות ה' (בני/בנות 10-11 ) בישראל נמדד גובהם של 483, 17 תלמידים/ות. גובהו של אבי היה 142 ס"מ. האם אבי הוא ילד גבוה/נמוך יחסית לבני גילו? (לשאלה מסוג זה לא יכולה להיות משמעות במובן מוחלט אלא רק כאשר מיחסים את גובהו של אבי לגבהים של אוכלוסית יתר הילדים בני גילו). כדי לתת תשובה מושכלת לשאלה זו (ולדומותיה) יש קודם כל לדעת את הגובה הממוצע של אותם ילדים/ות (אני מניח שבגיל 10 אין הבדל משמעותי בין גובה הבנים לבין זה של הבנות, ולצורך הדוגמה שהיא פיקטיבית בין כה וכה אין חשיבות למציאותיות של הנחה זו). נניח שהגובה הממוצע של הנבדקים היה 139 ס"מ (אינני זוכר את גובהי הילדים שלי בגיל 10, כך שאינני יודע אם סביבות 140 ס"מ הוא מציאותי), כך שאבי גבוה ב-3 ס"מ מן הגובה הממוצע של בני גילו. האם זו תשובה מספקת לשאלה שלנו? כדי לקבוע אם אבי יכול להחשב כגבוה במיוחד באוכלוסית בני גילו, רצוי לדעת אם סטיה של 3 ס"מ מן הממוצע היא חריגה, או שהיא פחות או יותר במסגרת הנורמה. זה תלוי באחוז הילדים שגובהם סוטה ב-3 ס"מ או יותר מן הגובה הממוצע: אם אחוז זה גבוה (למשל 30%) אז גובהו של אבי הוא רגיל ואין הוא יכול להחשב לגבוה במיוחד (ובודאי שלא לנמוך) יחסית לבני גילו, אך לעומת זאת אם אחוז זה הוא נמוך (למשל רק % 5 ), אז גובהו של אבי הוא נדיר במידה מספקת כדי להיחשב חריג. אז כיצד מחשבים, או מעריכים אחוזים כאלה ודומיהם? אפשר כמובן להיכנס לנתונים הגולמיים, לספור לכמה מן הנבדקים גובה של 142 ס"מ או יותר, לחלק במספר הנבדקים הכולל, לכפול את היחס הזה ב-100 ולקבל את האחוז המבוקש. אפשר גם להציג את הנתונים בהיסטוגרמה (דיאגרמת מלבנים ששטחיהם פרופורציוניים לאחוז המקרים בתחומים המהווים את בסיסיהם) ולבדוק את אחוז השטח מתחתיה המצוי מעל (מימין ל-) 142 ס"מ. אך מתברר שאם מסתפקים בקירוב טוב מאד לאחוזים המבוקשים, אין צורך בעבודה הרבה הזאת. וכאן נכנסת סטיית התקן (של התפלגות הגבהים) ואני מרשה לעצמי להניח שאת יודעת מהי וכיצד לחשב אותה. החשיבות של סטיית התקן (בצד הממוצע) נובעת מן העובדה שההיסטוגרמה של התפלגות אמפירית של גבהים (כמו גם של גדלים ביולוגיים אחרים וכן גדלים מתחומים רבים ושונים), קרובה בצורתה לעקום הנורמלי. זו עובדה אמפירית בלתי מעורערת שסיבותיה התיאורטיות נעוצות בתהליכים אקראיים (רנדומליים) הקובעים את הגודל הנמדד ובניתוח מתמטי-הסתברותי שלהם. תהיינה הסיבות התיאורטיות אשר תהיינה, כיון שכך הם הדברים, אפשר לקרב שטחים מתחת להיסטוגרמה (שהם מושא עניינינו) על ידי שטחים מתחת לעקום נורמלי ואלה האחרונים חושבו פעם אחת ולתמיד, פורסמו בטבלאות, ובדורות האחרונים אף הוכנסו למחשבוני כיס. אלא שכדי לממש קירוב זה, לגבי כל ההיסטוגרמות המתאימות שבעולם באמצעות עקום אחד - העקום הנורמלי הסטנדרטי (המתאים לממוצע 0 וסטיית תקן 1 ) - יש לבנות את ההיסטוגרמה ביחידות סטנדרטיות. וכאן נכנס ציון התקן. אם נחזור לדוגמה שלנו: נניח שסטיית התקן של גובהי התלמידים היא 5 ס"מ, אז גובהו של אבי (142 ס"מ) גדול מהממוצע (139 ס"מ) ב- 3/5 סטיית תקן וזהו גם ציון התקן של אבי. לפי הטבלאות: השטח מתחת לעקום הנורמלי (הסטנדרטי) מימין ל-3/5 הוא כ- 27% . אם כן, למעלה מרבע מן התלמידים הם בעלי גובה לפחות כמו של אבי, כך שהוא אינו יכול להיחשב חריג בגובהו. לסיכום: ציון התקן של נתון ספציפי מודד בכמה סטיות תקן סוטה הנתון הזה מן הממוצע. ציון תקן חיובי מציין נתון גדול מן הממוצע ושלילי - קטן מהממוצע. אם ממוצע הנתונים הוא m וסטטית הקן שלהם היא s , אז ציון התקן של נתון x הוא x-m חלקי s . בניגוד לנתונים עצמם, שערכיהם תלויים ביחידות המדידה (סנטימטר או אינץ', שקל או דולר, סקאלת צלסיוס או פרנהייט), ציוני התקן שלהם הם מספרים טהורים האדישים לגבי היחידות שבהן נעשו המדידות.

בברכה,