שלום,

במסגרת לימודי נתקלתי בשאלה "מדוע אינסוף זה לא מספר"?

אז, מדוע זה לא מספר?

תודה, קרן

כדי לענות על שאלתך המסקרנת צריך קודם כל לתת לעצמנו דין וחשבון על מהו מספר, או ליתר דיוק מהי מערכת מספרים. המספרים הטבעיים 1, 2, 3, ... משמשים בראש וראשונה למנייה (ספירה) ולקביעת גודלן הכמותי של קבוצות (סופיות), למשל : בכתה שלי 34 תלמידים ובכתה המקבילה רק 27 . אך מערכת המספרים הטבעיים לא באה לביטויה המלא מבלי שמחילים עליה גם את פעולות החשבון (חיבור וכפל) ומתוודעים לחוקיהן.
אם חשקה נפשנו שפעולת החיבור תהיה הפיכה נרחיב את המספרים הטבעיים למערכת המספרים השלמים (חיוביים, שליליים ואפס) שבה אפשר גם לחסר שני מספרים כלשהם. כדי לקבל את הפעולה ההפוכה של הכפל – החילוק, הורחבה מערכת המספרים השלמים למערכת המספרים הרציונאליים, הם השברים הפשוטים. כפי שודאי ידוע לך יש גם הרחבות נוספות (מערכת המספרים הממשיים והרחבתה למערכת המספרים המרוכבים),
אך לא נזדקק להן בדיון זה.

בכל הרחבה מגדירים את פעולות החשבון באופן שחוקיהן הבסיסיים (למשל, חוק החילוף בכפל, האומר שתוצאת הפעולה לא תלויה בסדר הגורמים), במערכת הצרה יחולו גם על המערכת המורחבת. אחרת אין זו הרחבה מועילה. כפי שוודאי ידוע לך, אחד החוקים היסודיים של פעולת הכפל הוא חוק הקיבוציות (אסוציאטיביות) האומר:

(axb)xc = ax(bxc)

ומאפשר לנו לוותר על הסוגריים במכפלות של יותר משני מספרים.

ננסה עכשיו לצרף למערכת המספרים שלנו את ה"מספר" הנוסף "אינסוף" שנסמנו (בניגוד למקובל) ב-א (הסימן המקובל הוא מעין 8 שוכב, אך אני מבקש לחסוך מעצמי את טרחת התוכנה, ואתך הסליחה). מבלי להיכנס להתפלספות באשר למהות ה"אינסוף", אני מקווה שתסכים\י אתי ש"אינסוף" זה משהו כמו 1 לחלק ל-0 , אז הבה נגדיר את ה"מספר" א כפתרון המשוואה

0 times X= 1

זאת אומרת: 1 = א0 = 0א (חוק החילוף)

ועכשיו נראה מה קורה לחוק הקיבוציות של הכפל:

1 = א times 0 = א times (0 times 2) = (א times 0) times 2 = 1 times 2
= 2

קבלנו אם כן 2 = 1, וזו כמובן סתירה שאינה מתקבלת על הדעת.

כל ניסיון לצרף את "אינסוף" למערכת המספרים שלנו באופן שחוקי החשבון הרגילים יישמרו נידון מראש לכישלון. ה"אינסוף" הוא יצור שונה מהמספרים ה"סופיים" וחלים עליו חוקים אחרים. במובן הזה הוא איננו מספר. הייתי אולי מדייק ואומר ש"אינסוף" איננו מספר רגיל. אפשר לצרפו (יחד עם חברו הנגדי
"מינוס אינסוף") למערכת המספרים שלנו, ולצרכים מתמטיים מסוימים נוח לעשות כן, אך אז יש לזכור שחלים עליו חוקי חשבון מיוחדים (בפרט יש להימנע מהביטוי (אינסוף מינוס אינסוף) שאין אפשרות לתת לו מובן קונסיסטנטי (שאינו מוביל לסתירה). זה דומה לאיסור לחלק ב-0 במערכת המספרים הרגילה (ללא "אינסוף").

מושג האינסוף מקבל את מלוא משמעותו במתמטיקה בתורת הקבוצות שהיא הבסיס למתמטיקה המודרנית. כל הקבוצות שאנו נתקלים בהן במציאות הפיזית, כמו קבוצת כל בני האדם על פני כדור הארץ, או קבוצת כל הכוכבים ביקום, או אפילו קבוצת כל המולקולות ביקום – הן קבוצות סופיות. רק בדיונים פילוסופיים מופשטים, ובפרט במתמטיקה, אפשר לדבר על קבוצות שאינן סופיות (אינסופיות) למשל: קבוצת כל המספרים הטבעיים, או קבוצת כל הנקודות בתוך ריבוע (קטן ככל שיהיה). יתר על כן, תורת הקבוצות המתמטית מלמדת שיש גדלים אינסופיים שונים, כך למשל קבוצת הנקודות בתוך ריבוע או אפילו על צלע אחת שלו מכילה יותר (במובן שניתן להגדרה פורמאלית מדויקת) איברים מקבוצת המספרים הטבעיים ואפילו מקבוצת המספרים הרציונאליים. אך כל זה שייך לאופרה מרתקת אחרת.

מקום נוסף שבו אין מנוס מלהיתקל במושג ה"אינסוף" במתמטיקה הוא בתהליכים גבוליים ובקרובים: למשל כאשר מפתחים מספר ממשי אירציונאלי (כמו שורש של 2) לשבר עשרוני, או כאשר מקרבים עיגול ע"י מצולעים לצורך חישוב של המספר פאי (היחס בין אורך המעגל לקוטרו). אך גם זו אופרה מסוג אחר.

ואידך זיל גמור

פרופ' דוד גילת
מתמטיקה
אוניברסיטת תל אביב