שלום רב לשואל. ההיגיון שלך מטעה אותך במידה מסוימת. נפח אינו סכום של שטחים, כשם ששטח אינו סכום של אורכים. בחשבון האינטגראלי אנחנו מקרבים את השטח ע"י סכום של פסים דקים, ואת הנפח ע"י סכום של שכבות דקות, ומקבלים את הנפח, או השטח, כגבול של אותם סכומים כאשר עובי הפס או השכבה שואף לאפס. בדרך כלל אנחנו מבצעים את החלוקה על ציר x כך שעובי הפס מסומן Δx. אורך הפס, או שטח השכבה, המתאימים ל x מסוים הם, בדרך כלל, פונקציה f(x) של x. ואנחנו מסכמים את האלמנטים Δx f(x). בחישוב נפח הכדור אנחנו לוקחים כx את הרדיוס של השכבה הכדורית, ואז נפח השכבה הואΔx x^2π4 , וכיוון ש x משתנה בין 0 ל R , האינטגרל הוא R^3/3π4. גם בחשבון האנלוגי (וכמובן מיותר) שהצעת לגבי הקובייה x צריך להיות הרדיוס, כלומר חצי צלע הקובייה, ואז x משתנה בין 0 ל a/2, נפח הקליפה הקובייתית הוא
x (2x)^26 Δ, והאינטגרל הוא 24 (a/2) ^3/3 , כלומר 3 a^ , כמצופה. בדרך שהצעת, כלומר באינטגראציה מ 0 עד a, הקוביה מכוסה פעמיים ע"י הקליפות, ולכן מתקבלת התוצאה הכפולה.

בברכה,
פרופ' דן עמיר
מדעים מדוייקים
אוניברסיטת תל אביב