העוצמה הקטנה ביותר של אינסוף מסומנת באלף אפס, זוהי העצמה של קבוצת המספרים הטבעיים, עצמת הרצף מסומנת באלף אחד והיא גדולה מאלף אפס, בעקרון אנו יודעים שקיימים אינסוף עצמות אינסופיות-כי לכל קבוצה נתונה קיימת קבוצה שאינה שקולה לה-הלא היא קבוצת הקבוצות החלקיות של הקבוצה הנתונה.

עוצמת הרצפ מספיקה כדי לתאר כל קבוצה אינסופית שנוכל לדמיין-החל מקבוצת הנקודות על קטע ישר וכלה בקבוצת הנקודות שבמעגל או על כדור בעלי קוטר אינסופי.

אבל האם לקבוצת כל הפונקציות יש עוצמה גדולה יותר מאשר עוצמת הרצף.

???

שלום רב,

ראשית, אלף אחד מסמן את העצמה הראשונה הגדולה מאלף אפס. אם כי קנטור שיער שזוהי עצמת הרצף , הוכח ע"י פול כהן שזה אינו הכרחי במערכת האכסיומאטית הרגילה של תורת הקבוצות. שנית, לא ברור למה אתה מתכוון כשאתה אומר שעצמת הרצף "מספיקה כדי לתאר כל קבוצה אינסופית שנוכל לדמיין" – מהדוגמאות שאתה נותן נראה שאתה מתכוון לקבוצות של נקודות במישור, וזאת מכיוון שעצמת קבוצת כל הנקודות במישור (וגם של מרחבים אוקלידיים מממדים גבוהים יותר) היא, אכן, עצמת הרצף. אבל, כפי שאתה כותב בהתחלה, קבוצת הקבוצות החלקיות של הישר, למשל, היא מעצמה גדולה מעצמת הרצף. אבל קבוצה זו שקולה לקבוצת "הפונקציות האופייניות" מהישר לזוג המספרים {0,1} (הפונקציה האופיינית לקבוצה A מקבלת את הערך 1 בנקודות A ואת הערך 0 בנקודות שמחוץ ל A) . לכן, קבוצת כל הפונקציות מהישר לעצמו, עליה שאלת, היא מעצמה גדולה מעצמת הרצף.
בברכה,
פרופ' דן עמיר
מדעים מדוייקים
אוניברסיטת תל אביב