שלום רב,

שאלותיך, או ליתר דיוק – תהיותיך, נוגעות ביסודות תורת ההיגיון (לוגיקה) ובאמינותה.

המתמטיקאי-לוגיקאי הדגול (1906-1978) KURT GOEDEL, במענה ל"חלום" של הילברט (1862-1943) – מתמטיקאי דגול בפני עצמו שביקש לבסס את

כל המתמטיקה על כמה עקרונות לוגיים פשוטים שבאמצעותם ניתן להוכיח או לסתור כל טענה מתמטית, הוכיח שאין בנמצא מערכת מתמטית פורמאלית

שלימה, כלומר שבכל מערכת אכסיומטית-פורמאלית יש בעיות שלא ניתנות להכרעה, או – במילים אחרות – יש טענות שאפשר אמנם לנסחן בתוך המערכת אך

שבאופן עקרוני לא ניתן להוכיחן או להוכיח את שלילתן. זהו בקווים כלליים ביותר תוכנו של מה שנקרא "משפט אי השלמות של GOEDEL".

בביסוס אכסיומטי של המספרים הטבעיים (חמש האקסיומות של GIUSEPPE PEANO (1858-1932)) לאחר שמגדירים את פעולות החשבון חיבור וכפל

אפשר להוכיח (כמסקנה לוגית מתחייבת מהאקסיומות וההגדרות), למשל, שהן החיבור והן הכפל (בין מספרים טבעיים) הן פעולות "קומוטטיביות", כלומר שהן הסכום והן המכפלה של שני מספרים טבעיים אינם תלויים בסדר הופעתם.

המספר 0 (אפס) אינו שייך למספרים הטבעיים והוא מופיע לראשונה בהרחבת הטבעיים למערכת המספרים השלמים, שבה האפס הוא האיבר הניאוטראלי לגבי החיבור.

הרחבה זו מתבצעת אף היא באופן אכסיומטי (אם כי בהתאמה להבנתנו האינטואיטיבית של המספרים השליליים), כאשר העובדה (שבהבנתה מתקשים תלמידים רבים)

ש- (1-)(1-) מוגדר
כשווה 1+ נובעת מתוך הצורך ש "חוק הפילוג" (של הכפל ביחס לחיבור), שהוא נכון במערכת המספרים הטבעיים, יישאר בתוקף במערכת הרחבה יותר.

שים לב שפיאנו פעל בסוף המאה ה-19 ובראשית המאה ה-20 ואילו אנשים השתמשו בהצלחה וללא סתירות במספרים השלמים במשך אלפי שנים לפני הביסוס הפורמאלי שלהם.

כך שלמרות שאין ביטחון הרמטי שהמתמטיקה היא חסרת סתירה פנימית, במערכות פשוטות כמו המספרים השלמים, שאיתן יש ניסיון מצטבר של אלפי שנים, אין לנו מה לחשוש מסתירות.

אינני בטוח שעניתי על תהיותיך לשביעות רצונך, אך אני מקווה שהפקת תועלת כלשהי מדברי הקצרים ושהצלחתי לעורר בך סקרנות להמשיך להתעניין בנושא

ולקרוא עליו (ברשת האינטרנט תוכל למצוא מידע רב והפנייה לספרים מתאימים).

כל טוב,

דוד גילת

פרופ' דוד גילת
מדעי המתמטיקה
אוניברסיטת תל אביב