פתרון השאלה באמצעים האלמנטריים של הגיאומטריה האוקלידית הידועים לתלמידי בית הספר התיכון אינו פשוט. פתרון חישובי ישיר אמנם אפשרי, אך הוא מייגע מאוד. מאידך, שימוש באמצעי הגיאומטריה הפרוייקטיבית הופך את הבעייה, באמצעות העתקה פרוייקטיבית מתאימה, לפשוטה ביותר. אך אינני מניח שזה יספק את השואל. אפשרות שלישית היא שימוש במושג הקוטביות בין נקודות וישרים ביחס למעגל נתון. לא אכנס לפרטים, אבל אתווה את הדרך:
נוכל להניח שהמעגל הנתון הוא מעגל היחידה שמרכזו O.
הנקודה A והישר a קטביים זה לזה (ביחס למעגל) אם a ניצב לישר AO בנקודה שמרחקה מ- O
הוא ההופכי למרחק AO. ברור שכל נקודה על המעגל קוטבית למשיק באותה נקודה. תכונות (לא קשות להוכחה) של הקוטביות הן: אם B היא נקודה על הישר a הקוטבי לנקודה A, אזי A
נמצאת על הישר b הקוטבי ל- B. הנקודה הקוטבית לישר הנקבע על ידי שתי נקודות היא חיתוך הישרים הקוטביים לנקודות אלו, והישר הקוטבי לחיתוך שני ישרים עובר דרך שתי הנקודות הקוטביות להם. אם
P נקודה מחוץ למעגל, אזי הישר הקוטבי לה עובר דרך שתי נקודות ההשקה של המשיקים למעגל העוברים ב- P.
הטענה שאנו רוצים להוכיח נובעת מיידית, באמצעות הקטביות, מהמשפט הבא: למרובע החסום במעגל, 2 נקודות מפגשי זוגות הצלעות הנגדיות ו- 2 נקודות מפגשי המשיקים בזוגות קדקודים הנגדיים נמצאות על ישר אחד. (הטענה שלנו נובעת ממשפט זה כיוון שנקודות מפגש המשיקים הן הקוטביות לאלכסוני המרובע).
את המשפט הזה אפשר למצוא בערך
Pascal's theorem בוויקיפדיה. שם הוא מובא כמקרה גבולי של משפט פסקאל על משושה החסום במעגל. (שם גם ישנה הפנייה להוכחה אלמנטרית למשפט פסקאל, שבדרך כלל מתקבל במסגרת הגיאומריה הפרוייקטיבית).
בברכה, דן עמיר
פרופ' דן עמיר
מדעים מדוייקים
אוניברסיטת תל אביב
