שלום רב לשואל/ת,

לפני שאתייחס לשאלותיך יהיה זה מועיל לעמוד בקצרה על ההקשר ההיסטורי

של עבודתו פורצת הדרך של KURT GOEDEL מ-1931 ועל השלכותיה מרחיקות הלכת

על ההתפתחות של המחשבה המתמטית והפילוסופיה בכלל.

המאה ה-18 ובעיקר ה-19 היו עדות להתרחבות עצומה של הידע המתמטי :

התבססות החשבון הדיפרנציאלי והאינטגראלי, פריצות דרך לעבר המבנים המופשטים (חבורות, שדות וכיו"ב)

של האלגברה המודרנית ויצירת תחומי מחקר חדשים ומקוריים, כגון תורת הקבוצות, ועוד כהנה וכהנה

שקצרה היריעה מלהזכירם כאן, ולא כל שכן - לתארם.

המאה ה-20 פוגשת את המתמטיקה לענפיה עם צורך דחוף לחקור את יסודותיה. סוגיות של קונסיסטנטיות

(העדר סתירה פנימית) עולות על פני השטח (למשל, הבעיה השנייה מתוך 23 הבעיות שהציג DAVID HILBERT בפני הקונגרס

הבינלאומי השני למתמטיקה שהתקיים בפאריס בשנת 1900 עסקה בקונסיסטנטיות של אכסיומות האריתמטיקה) ומתמטיקאים מובילים

ובראשם HILBERT קוראים למחקר שיעגן את המתמטיקה על יסודות מוצקים שבבסיסם מספר מצומצם עד כמה שאפשר של מושגי יסוד והנחות יסוד שמתוכם, באמצעות כללי לוגיקה שינוסחו אף הם באופן פורמאלי, אפשר להסיק את כל משפטי המתמטיקה ולהכריע (להוכיח או להפריך)

בכל סוגיה מתמטית עתידית. שלושת כרכי העבודה המונומנטאלית PRINCIPIA MATHEMATICA של BERTRAND RUSSELL & ALFRED WHITEHEAD

שהופיעו בשנים 1910-1913 היו ניסיון להיענות לאתגר זה. העיסוק ביסודות נתן דחיפה עצומה לפיתוח הלוגיקה המתמטית, הרבה מעבר לכללים הפשוטים של הלוגיקה האריסטוטלית, עד כדי הפיכתה לענף עצמאי של המתמטיקה עצמה.

למרבה ההפתעה, התקווה-שאיפה של HILBERT ואחרים נגוזה באחת ב-1931 עם הופעת מאמר התפנית של GOEDEL בכתב עת אוסטרי למתמטיקה (אגב, המחבר היה בן 25 בלבד באותה שנה, הוא נפטר ב-1978 בגיל 72). כדי לנסח במדויק את התוצאות של GOEDEL ולרדת למלוא עומקן יש צורך ברקע לא מבוטל בלוגיקה מתמטית ובמתמטיקה בכלל. לצרכים שלנו כאן נסתפק באופן בלתי נמנע בניסוחים הפשטניים הבאים:

1.




משפט אי-השלמות INCOMPLETENESS)) הראשון

כל מערכת פורמאלית שהיא רחבה במידה מספקת כך שבתוכה ניתן לבצע אריתמטיקה אלמנטארית, היא אי-שלמה: קיימות טענות המנוסחות בשפת המערכת

ובעלות מובן בה שאינן ניתנות להכרעה (אין אפשרות להוכיחן או להפריכן בתוך המערכת)

2.


משפט אי-השלמות השני

אין אפשרות להוכיח קונסיסטנטיות (העדר סתירה) של מערכת כנ"ל (אף כאשר היא אמנם קונסיסטנטית) בתוך המערכת עצמה.

אני חושש שניסוחים אלה לא אומרים לך הרבה, אך אין בידי להושיע במסגרת זו מעבר לכך שאציע לך לספק את סקרנותך בסוגיות סבוכות אלה

על ידי פנייה לספרות רלוונטית, שתוכל למצוא למשל ברשת האינטרנט (הקש, למשל, GOEDEL ב-GOOGLE).

ועתה לשאלותיך:

אני מקווה שעכשיו ברור לך שהניסוח שלך למשפט של GOEDEL (שמשום מה אתה קורא לו "משפט השלמות" במקום אי-השלמות)

הוא מוטעה. יתר על כן, עליך להחליט אם אתה עוסק בתורה שהיא עקבית מלכתחילה או שאתה בונה מודל המוכיח את עקביותה.

ב"מודל" כאן הכוונה למבנה מתמטי שבו מתקיימות כל האכסיומות של התורה. למשל, המישור (האוקלידי) המוכר לנו מהווה מודל עבור הגיאומטריה המישורית של אוקלידס ומאשש את הקונסיסטנטיות של האכסיומות של תורה זו.

הקשר ל"דבר הבא" שלך הוא רופף, אם בכלל.

כל מה שניתן להגיד על שלושת הסעיפים של "הדבר הבא" שלך

הוא שמטעמים לוגיים פשוטים הם קונסיסטנטיים. אמנם (א) ו-(ב) סותרים זה את זה, אך מאחר ש-(ג) הוא השלילה של (ב) וזו האחרונה קונסיסטנטית עם (א), הרי שלושתם יחד הם קונסיסטנטיים.

עם זאת, יש להבין שלא כל שלושה פסוקים קונסיסטנטיים מהווים "תורה".

באשר לסוגיה השלישית שאתה מעלה: כאשר מרחיבים תחום מספרים אחד לתחום רחב יותר (טבעיים לשלמים, שלמים לשברים, שברים לממשיים, ממשיים למרוכבים), ההרחבה אינה שרירותית, אלא היא נעשית כך שהתכונות של התחום המצומצם יותר, כשמסתכלים על אבריו כעל אברי התחום המורחב, יתלכדו עם תכונותיהם הקודמות, והוא הדין לפעולות החשבון. למשל, בהרחבה שומרים על חוק הפילוג של הכפל לגבי החיבור

((x(y+z) = xy+xz. או: כפל בין שברים

מוגדר כך שאם במקרה שני הגורמים הם מספרים שלמים (הנחזים כשברים) המכפלה תהיה זהה לזו שהייתה מתקבלת אילו

בצענו את הפעולה מלכתחילה בתחום המספרים השלמים. זה מבטיח את הקונסיסטנטיות של ההרחבה.

אין שיטה מופשטת "להכליל דברים" ואין לצפות שתהיה כזאת. הכל תלוי בטיב "הדברים" ובאופי ההכללה הרצויה.

אני מקווה שספקתי מענה לחלק מתהיותיך ומאחל לך הצלחה בהמשך עיוניך.

דוד גילת

פרופ' דוד גילת
מדעי המתמטיקה
אוניברסיטת תל אביב