שלום.

להצגה מטריציונית של גדלים או אופרטורים פיזיקליים יש יתרונות ברורים על הצגה דיפרנציאלית.

שאלותיי הן שתיים:

א. שאלת מידע: פרטים על ספרות ומאמרים העוסקים בהיבטים אלה.

ב. מהי המשמעות של איברי המטריצות המייצגות, למשל, תנע זוויתי, או את רכיביו במרחב ?

בפרט, אני שואל לגבי המקרה הפרטי של המטריצות של ספין (מטריצות פאולי).

אין צורך להסביר מהם תנע זוויתי וספין. השאלה מתמקדת במשמעות של איברי המטריצה.

בברכה, בנצי כהן.

שלום בנצי,

במערכת קוונטית הנמצאת במצב  נתון, לא כל גודל פיסיקלי מגדר היטב (למשל, חלקיק במצב המתואר על ידי גל מישורי הוא בעל תנע מוגדר אבל מקומו אינו מוגדר). כדי לתאר גודל פיסיקלי יש לקבוע מערכת של מצבים בהם גודל זה מוגדר היטב ולציין את ערכו של גודל זה לכל אחד ממצבי המערכת. אם בוחרים כבסיס למרחב המצבים את המערכת בה הגודל הנידון מוגדר היטב, אז בבסיס זה מתואר הגודל הפיסיקלי על ידי מטריצה אלכסונית, נסמנה למשל בA.  האיבר האלכסוני של המטריצה  A(i,i)  הוא ערכו של הגודל הפיסיקלי הנידון במצב מספר i בבסיס. איבריה הלא אלכסוניים של המטריצה הם 0 בבסיס זה. במקרה זה משמעותם של אברי המטריצה ברורה.  

לא תמיד נדע מראש לבחור בסיס של מצבים בהם גודל פיסיקלי מסוים מגדר היטב. בבסיס כללי של מצבים בהם האופרטור אינו בהכרח מוגדר, מתואר הגודל הפיסיקלי על ידי מטריצה (הרמיטית) לא אלכסונית. במקרה זה לאיברים האלכסוניים של המטריצה, A(i,i), משמעות ברורה. הם מיצגים את ערכו הממוצע של הגודל הפיסיקלי במצב מספר i בבסיס שנבחר. משמעות ערכם של האיברים הלא אלכסוניים איננה מידית. מתוך ידיעת כל איברי המטריצה ניתן להסיק מהי מערכת המצבים בה הגודל הפיסיקלי מוגדר ומהו ערכו בכל אחד ממצבים אלה. אינפורמציה זו מתקבלת מן המטריצה על ידי הפעלת התהליך האלגברי של "לכסון" המטריצה. בדרך זו מכילה המטריצה את האינפורמציה המלאה על הגודל הפיסיקלי הנידון.

במקרה המיוחד של מרכיבי התנע הזויתי, הואיל ואלה הם היוצרים של סיבובים אינפיניטסימליים במרחב,  אפשר לתת לאיבר המטריצה   J(a)  (כאשר  a מקבל  את הערכים  x,y,z)  בין המצב  i לבין המצב j   של בסיס כלשהו את  המשמעות הבאה. אם ניקח את המערכת במצב i   ונסובב אותה בזוית קטנה סביב ציר a ,  איבר המטריצה הנידון , J(a)(j,i), הוא הערבוב  של המצב החדש שנתקבל לאחר הסיבוב  עם המצב j  של הבסיס , בסדר ראשון בזוית הסיבוב.

בנוגע לספרות על ההצגה המטריציונית של גדלים פיסיקליים, כל ספר בסיסי בתורת הקוונטים מכיל חומר זה.

בברכה,
 

פרופ' שמואל אליצור
מכון רקח לפיסיקה
האוניברסיטה העברית