לנוחיות זיהוי הנקודות ברשת, נשכן אותה במערכת קואורדינטות קרטזית כך ש-16 נקודות הרשת
יהיו כל
הנקודות בעלות הקואורדינטות השלמות של הריבוע שאחד מאלכסוניו
הוא הקטע המחבר את הנקודה (1,1) עם הנקודה (4,4) . (שימו לב שריבוע (בניגוד למרובע אחר, כמו למשל מלבן) נקבע באופן חד משמעי על ידי כל אחד משני אלכסוניו).
נמיין את הריבועים לשתי קבוצות: (א) ריבועים שצלעותיהם מקבילות לצירי המערכת. (ב) רבועים שצלעותיהם מוטות כלפי הצירים.
בקבוצה (א) יש 9 ריבועים בעלי צלע באורך 1, 4 בעלי אורך צלע 2 וריבוע 1 בעל צלע באורך 3, בסך הכל 14 ריבועים שצלעותיהם מקבילות לצירים (קל לזהות ריבועים אלה ואתם מתבקשים לעשות זאת).
קבוצה (ב) מורכבת מ-4 ריבועים שאורך צלעותיהם שורש-2 כאורך הצלע של ריבוע יחידה, 2 מהם מוטים בזוית של 45 מעלות כלפי הכיוון החיובי של הציר האופקי, והשניים האחרים - בזוית 135 מעלות כלפי אותו כיוון (ספציפית:הקודקודים של אחד הריבועים האלה (קודקודי האחרים נקבעים על ידי סימטריה) הם הנקודות:
(2,1), (3,2), (2,3), (1,2) (מסודרות מימין לשמאל נגד כיוון השעון. אגב, כשמחליפים את סדר הקואורדינטות מתקבלות אותן 4 נקודות בסדר הפוך - אתם רואים מדוע?), ועוד 2 ריבועים בעלי צלע באורך שורש-5, אחד מוטה כלפי הכיוון החיובי של הציר האופקי בזוית שהטנגס שלה הוא
חצי והשני - 2. הקודקודים של הראשון הם:
(2,1), (4,2), (3,4), (1,3) (אגב, כשמחליפים כאן את סדר הקואורדינטות מתקבלים קדקודיו של הריבוע השני מסוג זה - אתם רואים מדוע?).
לסיכום: בקבוצה (א) 14 ריבועים ובקבוצה (ב) 6 ריבועים, ובסך הכל 20 ריבועים.
כדי להשלים את פתרון הבעיה, יש להוכיח ש-20 הריבועים שמצאנו ממצים את כל האפשרויות של ריבועים שקודקודיהם ברשת.
הנה הצעה לרעיון של הוכחה: ל-20 הריבועים שמצאנו 40 אלכסונים. קצות האלכסונים האלה מהווים 40 מ-120 = 15x8 זוגות הנקודות ברשת.
אפשר לבדוק בקלות (ולא אעשה זאת כאן) שאף אחד מ-80 הזוגות הנותרים אינו מהוה קודקודים אלכסוניים של ריבוע ששני קודקודיהם האחרים שייכים ל-16 נקודות הרשת. מטעמי סימטריה אין צורך לבדוק את כל 80 האפשרויות. אמור מעתה שהספירה שלנו ממצה את כל אלכסוני הריבועים ברשת ולכן את כל הריבועים עצמם.
תשובה לשאלה השניה:
