נזכור ש"פונקציה" מספרית מוגדרת בתחום הגדרה מסוים, ושלכל מספר x בתחום ההגדרה היא מקבלת ערך מספרי אחד ויחיד y=f(x) (בתיאור הגרפי במישור xy זה אומר שלכל מספר x בתחום ההגדרה יש בדיוק נקודה אחת של הגרף הנמצאת בדיוק מעל (x. כדי שנוכל לדבר על פונקציה הפוכה ל- f, כלומר פונקציה האומרת לנו מאיזה x קיבלנו את y, נחוץ שלכל y בתחום ההגדרה של הפונקציה ההפוכה יהיה x אחד ויחיד המקיים y=f(x) . לכן, ראשית לכל, כדי שיהיה בכלל x
כזה, אנחנו יכולים להגדיר פונקציה הפוכה רק בתחום שמוכל בטווח של הפונקציה f, כלומר רק על ערכים שמתקבלים על ידי הפונקציה. אבל אנחנו צריכים לדאוג שיהיה רק x אחד כזה, כלומר ש- y יתקבל רק פעם אחת, וכדי לדאוג לזאת אנחנו לפעמים מצמצמים את תחום ה- x שבהם מדובר.
בדוגמה הראשונה שנתת, y=2x, אין שום בעייה: הפונקציה מוגדרת היטב לכל x , כלומר תחום ההגדרה הוא כל ישר המספרים, וכל y בישר המספרים מתקבל פעם אחת בדיוק. ולכן גם הפונקציה ההפוכה מוגדרת על הישר כולו, וקל למצוא אותה על ידי פתרון המשוואה. לעומת זאת, כשניקח את הפונקציה y = x בריבוע, יש לנו שתי בעיות: ראשית, מתקבלים רק הערכים האי-שליליים, ולכן נאלץ להגדיר פונקציה הפוכה רק על המספרים האי-שליליים, ושנית, כל ערך חיובי מתקבל פעמיים (ממספר חיובי ומהמינוס שלו), ולכן נוהגים להגדיר את הפונקציה ההפוכה רק עבור הפונקציה f
המוגדרת על הקרן החיובית, וזוהי פונקציית השורש הריבועי.
מציאת ביטוי אלגברי לפונקציה ההפוכה זוהי בעיית פתרון המשוואה. לא תמיד היא פשוטה, או אפילו ניתנת לחישוב.
במקרה שלך, הפונקציה y=x+1/x מוגדרת על כל המספרים השונים מ- 0. אבל הטווח הוא רק המספרים שערכם המוחלט אינו קטן מ- 2 – ורק על תחום זה ניתן להגדיר פונקציה הפוכה. שנית, כל המספרים שערכם המוחלט גדול מ- 2 מתקבלים פעמיים, ועל כן תידרש הגבלה נוספת שתבטיח יחידות.
כשנפתור את המשוואה הריבועית נראה שלכל y כזה יש שני פתרונות (ערכי פלוס-מינוס של השורש) ואנחנו יכולים לבחור, למשל, לקחת רק את ערך הפלוס, כלומר לצמצם את הפונקציה ההפוכה לתחום בו הערך המוחלט של x אינו קטן מ- 1.
אני מציע לך לשרטט גרף של הפונקציה כדי לראות מה קורה כאן – בדרך כלל אנחנו יכולים להפוך פונקציה בחלק של הגרף שבו הפונקציה רציפה ומונוטונית (כלומר, תמיד עולה או תמיד יורדת), כי שם לא רק שכל מקביל לציר y חותך את הגרף בנקודה יחידה (כמו שדורשת הגדרת הפונקציה), אלא גם כל מקביל לציר x חותך את הגרף בנקודה יחידה (כמו שדורשת הגדרת הפונרציה ההפוכה).
דן עמיר
פרופ' דן עמיר
מדעים מדוייקים
אוניברסיטת תל אביב
