שלום.

מהו ההסבר המתמטי לכך שכל מספר בחזקת 0 יהיה שווה 1?

תודה

חיה

נתחיל את ההסבר מחזרה קצרה על ההגדרה של פעולת החזקה.

חזקה היא פעולת חשבון שכמו הרבה פעולות (כגון חיבור וכפל) שותפים בה שני מספרים שכתוצאה מהפעולה ביניהם מתקבל מספר שלישי.

אחד המספרים נקרא בסיס-החזקה והשני נקרא מעריך-החזקה.

אם המעריך הוא מספר שלם גדול מ-1 (2, 3, ...), ההגדרה של הפעולה היא – ריבוי הכפל, כלומר x בחזקת n באשר n>1 שווה למכפלה שיש בה n גורמים שכולם שווים ל-x. כך למשל אם בסיס החזקה הוא 3.5 והמעריך הוא 4 מתקבלת החזקה 3.5 בחזקת 4 השווה ל-
3.5x3.5x3.5x3.5= 150.0625

ברור שההגדרה הזאת אינה תופסת למעריך קטן מ-2. (כמו למשל x בחזקת 1 או x בחזקת 0 ) וגם x בחזקת מספר לא שלם או בחזקת מספר שלילי אינם מבעלי משמעות לפי ההגדרה הזאת.

כדי להרחיב את פעולת החזקה למעריכים 1, 0 ולמעריכים לא שלמים (שברים) או שליליים צריך לדאוג לכך שההגדרה שתינתן לא תעמוד בסתירה להגדרה של חזקה שהמעריך שלה שלם וגדול מ-1. אדרבה, ההגדרה צריכה להיות הרחבה של ההגדרה הנ"ל במובן שתהיה התאמה בין השתיים ושום דבר שכבר ידוע לא יתערער. מה ידוע?

ידוע למשל שאם כופלים x בחזקת n ב-x בחזקת m (באשר n>1, m>1) המכפלה שווה ל-x בחזקת n+m (למשל x³ x x⁵ שווה x⁸).

ואם מחלקים x בחזקת n ב-x בחזקת m (באשר n>1, m>1) המכפלה שווה ל-x בחזקת n-m (למשל
x⁵ל חלק ל- x³ שווה x²).

בנוסף לכך, נזכור גם שהמנה של שני מספרים שווים זה בזה היא 1 (בהנחה שהם לא אפס, למשל 4:4=1)

אם נחלק x בחזקת 3 ב-x בחזקת 3, מצד אחד ברור שהתוצאה היא 1 כי חילקנו שני מספרים שווים מאידך אם אנחנו רוצים שחוקי החזקות יחולו ללא הגבלה אז נקבל x^3-3 היינו x⁰.

לכן על מנת שלא תיווצר סתירה מגדירים x בחזקת 0 כשווה ל-1

(באופן דומה מגיעים להגדרה של x בחזקת 1 כשווה ל-x ואת x בחזקה שלילת וגם x בחזקת שבר בהתאמה לחוקים החלים על חזקה שהמעריך שלה > 1)

שנה טובה

פרופ' נצה מובשוביץ-הדר
המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים
הטכניון